g est-elle bornée ?

Voici une question qui m'obsède (enfin... je n'y pense pas non plus à chaque fois que je me rase hein !) depuis plus de 10 ans ! Et dont je n'ai toujours pas la réponse :'( ! Et non, la réponse n'est pas 42 ;).

Ledit problème :

Soit f la fonction qui à tout entier naturel n associe le produit de ses chiffres.
Exemple : 1234 ---> f(1234)=1*2*3*4=24
Soit g la fonction qui à tout entier naturel n associe le minimum des entiers p tel f^(p)(n)<10
Exemple : g(1234)=2 car f(1234)=24 et f^(2)(1234)=f(24)=8)
g est-elle bornée ?

L'énoncé est tout simple, mais voilà... impossible de résoudre ce f*utµ problème !
Si bornée, j'opterais pour une borne égale à 10 ou 11 (10 car base 10 et 11 car 10+1 -ça, c'est pour la théorie du + ou - 1, mais j'en reparlerai plus tard... ou pas).

J'ai fait tourner Excel (surtout VB en fait !) pour me donner une idée... mais j'arrive très vite à ses limites de calcul, ainsi que celles de mon vieux Dothan 2Ghz. It's BSOD partyyyy !
Et pour l'instant, même pas sûr que mes macros ne soient pas "buggées" !

Bref... si un prix Nobel de Maths (ahaha) passe dans le coin, je ne serais pas contre un petit indice ;).